群の定義

集合\(G\)の2つの元に対して、\(G\)の元1つを対応させる
写像を\(G\)上の2項演算という。この組\(x,y\)について
\(x \circ y\)を\(x\)と\(y\)の積という。

\( (G,\circ) \)が以下の3つの条件を満たすとき、\(G\)は群であるという。

\( (G1) \forall a,b,c \in G \)に対して
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \]
となること（結合法則）

\( (G2) \exists e \in G \) s.t.\( \forall a \in G \)に対して
\[ e \circ a = a \circ e = a \]
が成り立つ。このときの\( e \)を単位元という。

\( (G3) \forall a \in G \)に対して、\( \exists b \in G \)以下を満たす。
\[ a \circ b = b \circ a = e \]
このときの\( b \)を\( a^{-1} \)と書き、\( a \)の逆元という。

\( a \circ b = ab \)と省略して書くこともある。

定義（アーベル群）
\( \forall a,b \in G \)に対して
\[ ab = ba \]
となるとき、群\(G\)を可換群、またはアーベル群と呼ぶ。
そうでないとき、非可換群、非アーベル群と呼ぶ。

例1）\( G = \mathbb{Z} \)、演算は通常の加法とするとき、
\( \forall a,b,c \in G \)に対して、
\[ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \]
を満たす。
\( \exists 0 \in \mathbb{Z} \)s.t.\( \forall a \in \mathbb{Z} \)に対して
\[ 0 + a = a + 0 = a \]
より\(0\)が単位元
また\( \forall a \in \mathbb{Z} \)に対して、\( \exists -a \in \mathbb{Z} \)が取れて
\[ a + (-a) = (-a) + a = 0 \]
より逆元も存在する。

また\( \forall a,b \in \mathbb{Z} \)に対して
\[ a + b = b + a \]
なので、\( \mathbb{Z} \)は可換群（加法群）となる。