単位元と逆元の一意性について

\(G\)を群とする。単位元が2つ存在したとする。
それを\(e, e^{\prime} \)とおくと、\(e = e^{\prime} \)を示す。

\[ \begin{align}e &= e e^{\prime} \\
&= e^{\prime} e \\
&= e^{\prime} \\
e &= e^{\prime}
\end{align}\]

\(G\)を群とする。\( \tau \in G \)の逆元として、\( \sigma ,\sigma^{\prime} \in G \)が取れたとする。
このとき、\( \sigma = \sigma^{\prime} \)を示す。

\[\begin{align}\sigma &= \sigma e \\
&= \sigma (\tau \sigma^{\prime}) \\
&= (\sigma \tau) \sigma^{\prime} \\
&= e \sigma^{\prime} \\
&= \sigma^{\prime} \\
\sigma &= \sigma^{\prime}
\end{align}\]