ラグランジュの定理

\(G\):群、\(H \le G\)とする。このとき、\(|G| = [G:H]|H|\)が成立する。

証明
\(f:H \to gH\)の\(f\)が全単射であることが示せれば、\(|H| = |gH|\)となります。
すると、\(G\)は剰余類の和集合\(G = g_{1}H \cup g_{2}H \cup \cdots \cup g_{n}H\)
と書けているので、題意が示せます。

単射であること
\[\begin{align}f(h_{1}) &= f(h_{2})とする\\
gh_{1} &= gh_{2}両辺に左からg^{-1}をかけて\\
h_{1} &= h_{2}
\end{align}\]

全射であること
\(\forall z \in gH\)とすると、\(\exists h \in H\)して\(z=gh\)と書ける。
このとき、\(f(h) = gh = z\)

よって、全単射となります。

雰囲気は下図の通り。

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