位数が素数の群は巡回群

命題
群\(G\)の位数が素数\(p\)であるとき、巡回群である

使用する定理・命題

ラグランジュの定理
\(G\):群,\(H \le G\)とする。このとき、\(｜G｜= |H| [G:H] \)が成り立つ。
特に、\(G\)が有限群のとき、\(G\)の部分群の位数は\(G\)の位数の約数である。

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命題
\(G\)を有限群とし、\(|G|=n\)とするとき以下が成り立つ。

1.\( \forall g \in G\)に対して、\(g\)の位数は\(n\)の約数である。
2.\(g \in G\)の位数が\(n\)であれば、\(G = <g>\)巡回群である。

ではまず表題である\(|G| = p\)であるとする。\(p\):素数
このとき、\(p \geq 2\)なので、\(G\)には少なくとも2つの元が存在する。

そして、\(G\)は群なので、
単位元\(e\)ともう1つの元\(g \in G\)を含むことになります。

そこで、\(<g>\)を考える。

すると、\(e,g \in <g>\)であり、元の位数は、素数\(p\)を割り切る\(1,p\)である。

位数が\(1\)であれば、単位元なので、\(g\)の位数は\(p\)である。

ここで、命題より\(G = <g>\)となり、\(G\)は巡回群となる。

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