アーベル群（可換群）

命題1：巡回群はアーベル群

証明
\(G\)を巡回群とする。すると、ある元\(g\)が存在して、\(G = <g>\)となっている。
このとき、\(\forall x,y \in <g>\)ならば\(xy = yx\)を示す。

\(x,y\)はそれぞれ、\(\exists n,m \in \mathbb{Z}\)を用いて、
\(x = g^n,y = g^m\)と書ける。

\[\begin{align}xy &= g^{n}g^{m}\\
&= g^{n+m}\\
&= g^{m+n}:整数\mathbb{Z}は可換なので\\
&= g^{m}g^{n}\\
&= yx
\end{align}\]

命題2：\(\forall x \in G\)に対して、\(x^2 = e\)となればアーベル群

証明
\(x^2 = e \Rightarrow x = x^{-1}\)に注意して、\(xy = yx\)を示す。

\(xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx\)

命題3：\(G\)を群とする。\(G\)の位数が４以下であれば、アーベル群である。

証明
\(|G| = 1\)のとき、\(G ={1_{G}}\)で、単位元からのみなる。
単位元は可換なので、\(G\)は可換群である。

\(|G| = 2\)のとき、\(G ={1_{G},a}\)である。
\(a^2=a\)とすると、\(a=1_{G}\)となり不適。
よって、\(a^2=1_{G}\)となり、命題2より可換群である。

\(|G| = 3\)のとき、\(G ={1_{G},a,b}\)である。
\(ab=ba\)を示せば充分なので、
\(ab = a\)とすると、\(b = 1_{G}\)となり不適。
また、\(ab = b\)とすると、\(a = 1_{G}\)となり不適。
よって、\(ab = 1_{G}\)である。

同様の議論で、\(ba = 1_{G}\)が分かるので、
結局、\(ab = ba\)となり、命題2と合わせて可換群である。

\(|G| = 4\)のとき、\(G ={1_{G},a,b,c}\)である。
このとき、\(ab = ba,bc =cb,ca = ac\)を示せば良いのであるが、
対称性より\(ab = ba\)を示せば良い。

\(ab = 1_{G} または ab = c \)となる。

\(ab = 1_{G} \neq ba\)になったとする。
このとき、\(ba = c\)だが、\(a = b^{-1}\)でもあるので代入すると

\(ba = bb^{-1} = 1_{G}\)となり矛盾。

よって、\(ab = ba\)

この時の群表は以下の通りです。

	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	c	1	b
b	b	1	c	a
c	c	b	a	1

\(ab = c\)のときの群表は

	1	a	b	c
1	1	a	b	c
a	a	1	c	b
b	b	c	1	a
c	c	b	a	1

となります。

よって、いずれもアーベル群となります。